Глава 2. Показательные неравенства

25^{x^{2} - 2 x + 10} - {0,2}^{2 x^{2} - 4 x - 80} \leq 0

2-1-privedenie

Приведение к одному основанию

Признак. Все степени сводятся к одному основанию (сразу или после преобразования составных оснований и степеней степеней).

Решение. Привести обе части к одному основанию; снять основание по монотонности (при a>1 знак сохраняется, при 0<a<1 переворачивается); решить неравенство для показателей.

0502 0513 0552 0529 0530 0561 0540 0541 0542 0563 0571 0585 0586 0604 0615 0666 0667 0669 0678

2^{x} + 6 \cdot 2^{- x} \leq 7

2-1-simmetr

Симметричные aˣ + c·a⁻ˣ

Признак. Есть и прямая степень aˣ, и обратная a⁻ˣ одного основания.

Решение. Замена t=aˣ>0; привести к дроби (…)/t; метод интервалов; обратная замена.

0501 0512 0503 0504 0523 0572 0510 0511 0555 0517 0518 0535 0531 0532 0565 0533 0534 0562 0539 0551 0545 0549 0582 0567 0568 0573 0574 0580 0581 0601 0614 0720 0726 0737 0738

4^{x} - 29 \cdot 2^{x} + 168 \leq 0

2-1-kvadrat

Квадратный трёхчлен по aˣ

Признак. После замены t=aˣ получается квадратное неравенство at²+bt+c⋛0 без дроби.

Решение. Замена t=aˣ>0; дискриминант или Виета; корни дают двойное неравенство; обратная замена.

0505 0506 0507 0508 0509 0554 0514 0515 0556 0516 0524 0538 0550 0559 0520 0558 0521 0522 0527 0528 0536 0537 0544 0553 0569 0575 0576 0577 0578 0594 0661 0663 0664 0597 0598 0660 0662

\frac{2}{7^{x} - 7} \geq \frac{5}{7^{x} - 4}

2-2-lineynyy

Дробь с линейным знаменателем

Признак. Одна или несколько дробей, знаменатель линеен по aˣ (вида aˣ−p).

Решение. Замена t=aˣ; перенести всё влево и привести к общему знаменателю; метод интервалов (нули знаменателя выколоты); обратная замена.

\frac{13 - 5 \cdot 3^{x}}{9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 27} \geq 0,5

2-2-kvadratnyy

Дробь с квадратным знаменателем

Признак. Знаменатель — квадратный трёхчлен по aˣ: a^{2x}−k·aˣ+c = (aˣ−p)(aˣ−q).

Решение. Замена t=aˣ; разложить знаменатель на множители; свести к одной дроби; метод интервалов (петелька, если в числителе полный квадрат).

0612 0613 0617 0620 0637 0693 0694 0721 0722 0621 0646 0695 0625 0630 0631 0632 0640 0641 0642 0643 0644 0645 0650 0657 0658 0659 0674 0682 0683 0684 0685 0686 0696 0697 0715 0741 0745 0746 0748 0749 0751 0752 0756 0757 0760 0762 0763 0765

25^{x} - 20^{x} - 2 \cdot 16^{x} \leq 0

2-3-razlozhenie

Однородные и разложение на множители

Признак. Несколько слагаемых с разными основаниями: однородные (A^{2x}, (AB)ˣ, B^{2x}) или 4+ слагаемых, сводимых группировкой к произведению.

Решение. Однородные — разделить на B^{2x} и заменить t=(A/B)ˣ>0. Прочие — сгруппировать попарно или вынести общий множитель в произведение; разбор по знакам множителей.

0519 0543 0546 0547 0548 0557 0564 0566 0525 0526 0560 0583 0584 0587 0588 0589 0590 0591 0592 0593 0595 0596 0648 0649 0672 0673 0687 0717

\sqrt{2^{x} - 1} \geq 3 - 2^{x}

2-3-irracion

Показательно-иррациональные

Признак. В неравенстве присутствует корень √ или модуль над/под показательным выражением.

Решение. ОДЗ подкоренного; переход к равносильной системе или возведение в квадрат с контролем знаков; затем работа с показательной частью.

0701 0702 0705 0703 0704 0706 0707 0710 0711 0712 0713 0714 0716 0724 0725 0742 0744 0755 0767

{(x^{2} + x + 1)}^{x} < 1

2-3-nestandart

Нестандартные приёмы

Признак. Основание степени зависит от x (переменное основание) либо ключ решения — оценка/неравенство о средних.

Решение. Переменное основание: разбор случаев a>1 / a=1 / 0<a<1. Симметричная сумма aˣ+a⁻ˣ≥2 — оценка снизу.

0579 0688 0689 0692

2-1Сводятся к показательному уравнению или квадрату