Задача 10150717 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Каждый из трёх раскладывается с общим множителем 4ˣ − 3ˣ (множители 9ˣ, 3ˣ > 0 на ОДЗ не влияют), поэтому условие сводится к 4ˣ − 3ˣ ≠ 0. Делим на 3ˣ > 0 и снимаем основание степени 4/3 — функция возрастает.

ОДЗ

36^{x} - 27^{x} \neq 0, 16^{x} - 2 \cdot 12^{x} + 9^{x} \neq 0, 12^{x} - 9^{x} \neq 0

36^{x} - 27^{x} = 9^{x} (4^{x} - 3^{x})

16^{x} - 2 \cdot 12^{x} + 9^{x} = {(4^{x} - 3^{x})}^{2}

12^{x} - 9^{x} = 3^{x} (4^{x} - 3^{x})

4^{x} - 3^{x} \neq 0

{(\frac{4}{3})}^{x} \neq 1

{(\frac{4}{3})}^{x} \neq {(\frac{4}{3})}^{0}

x \neq 0

Множители: 36ˣ − 27ˣ = 9ˣ(4ˣ − 3ˣ), 16ˣ − 2·12ˣ + 9ˣ = (4ˣ − 3ˣ)², 12ˣ − 9ˣ = 3ˣ(4ˣ − 3ˣ). Делим на 3ˣ: (4/3)ˣ ≠ 1; так как 1 = (4/3)⁰, получаем x ≠ 0.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Знаменатели разложены в ОДЗ: 9ˣ(4ˣ − 3ˣ), (4ˣ − 3ˣ)², 3ˣ(4ˣ − 3ˣ). В средней дроби 16ˣ − 12ˣ = 4ˣ(4ˣ − 3ˣ) сокращается с (4ˣ − 3ˣ)²; справа 16ˣ⁺¹ᐟ² = 4·16ˣ. Переносим правую часть влево, общий знаменатель 9ˣ(4ˣ − 3ˣ).

16^{x} - 12^{x} = 4^{x} (4^{x} - 3^{x})

\frac{4 (16^{x} - 12^{x})}{{(4^{x} - 3^{x})}^{2}} = \frac{4 \cdot 4^{x} (4^{x} - 3^{x})}{{(4^{x} - 3^{x})}^{2}} = \frac{4 \cdot 4^{x}}{4^{x} - 3^{x}}

16^{x + \frac{1}{2}} = 4 \cdot 16^{x}

\frac{64^{x}}{9^{x} (4^{x} - 3^{x})} + \frac{4 \cdot 4^{x}}{4^{x} - 3^{x}} \leq \frac{4 \cdot 16^{x}}{3^{x} (4^{x} - 3^{x})}

\frac{64^{x} + 4 \cdot 4^{x} \cdot 9^{x} - 4 \cdot 16^{x} \cdot 3^{x}}{9^{x} (4^{x} - 3^{x})} \leq 0

\frac{64^{x} + 4 \cdot 36^{x} - 4 \cdot 48^{x}}{9^{x} (4^{x} - 3^{x})} \leq 0

Над общим знаменателем 9ˣ(4ˣ − 3ˣ): из второй дроби 4·4ˣ·9ˣ = 4·36ˣ, из правой 4·16ˣ·3ˣ = 4·48ˣ. Числитель 64ˣ + 4·36ˣ − 4·48ˣ.

шаг 3.Раскладываем числитель

Числитель — однородный по 4ˣ и 3ˣ. Выносим 4ˣ (64ˣ = 4ˣ·16ˣ, 36ˣ = 4ˣ·9ˣ, 48ˣ = 4ˣ·12ˣ); в скобке — полный квадрат.

64^{x} + 4 \cdot 36^{x} - 4 \cdot 48^{x} =

= 4^{x} (16^{x} - 4 \cdot 12^{x} + 4 \cdot 9^{x}) =

= 4^{x} {(4^{x} - 2 \cdot 3^{x})}^{2}

\frac{4^{x} {(4^{x} - 2 \cdot 3^{x})}^{2}}{9^{x} (4^{x} - 3^{x})} \leq 0

16ˣ − 4·12ˣ + 4·9ˣ = (4ˣ)² − 2·4ˣ·(2·3ˣ) + (2·3ˣ)² = (4ˣ − 2·3ˣ)².

шаг 4.Нули числителя и знаменателя

Множители 4ˣ и 9ˣ положительны при любом x — знак дроби определяют (4ˣ − 2·3ˣ)² и 4ˣ − 3ˣ. Каждый — разность степеней с одинаковым показателем, обнуляется ровно в одной точке. Приравниваем к нулю и делим на 3ˣ.

4^{x} - 2 \cdot 3^{x} = 0

4^{x} = 2 \cdot 3^{x}

{(\frac{4}{3})}^{x} = 2

x = \log_{4 / 3} 2

4^{x} - 3^{x} = 0

4^{x} = 3^{x}

{(\frac{4}{3})}^{x} = 1

x = 0

x = log_{4/3}2 ≈ 2,41 — нуль числителя (множитель (4ˣ − 2·3ˣ)², чётная кратность). x = 0 — нуль знаменателя (4ˣ − 3ˣ), выколот по ОДЗ.

шаг 5.Метод интервалов в x

Нуль числителя x = log_{4/3}2 — чётной кратности (множитель в квадрате) → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≤) — изолированная точка в ответе. Точка разрыва x = 0 — выколота по ОДЗ. Знак на интервалах — одной пробной точкой и чередованием.

Пробная точка x = 1 на (0; log_{4/3}2): 4·(4 − 6)²/(9·(4 − 3)) = 4·4/9 > 0 → знак «+». Через петельку x = log_{4/3}2 знак не меняется; через выколотую x = 0 — меняется, на (−∞; 0) знак «−».