условие
шаг 1.Область допустимых значений
Под корнями стоит x² − 4, а в показателе степени — дробь 1/x, поэтому x ≠ 0.
ОДЗ
шаг 2.Выносим общий множитель
Заметим, что √(9x² − 36) = 3√(x² − 4). Обозначим w = √(x² − 4) ≥ 0 и y = 2^{1/x} > 0; тогда степени с показателем степени 1/x выражаются через y.
шаг 3.Анализ множителей
Так как w = √(x² − 4) ≥ 0, неравенство выполнено, если w = 0 (x = ±2) или y² − y − 12 ≤ 0.
Возвращаемся к x: 2^{1/x} ≤ 4 = 2². Основание 2 > 1, функция 2^t возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
поэтому переходим к показателям с тем же знаком: 1/x ≤ 2.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Раскладываем по теореме Виета: для y² − y − 12 сумма корней равна 1, произведение — −12. У нас 4 + (−3) = 1 и 4·(−3) = −12 — оба сходятся, значит корни 4 и −3. Поскольку y = 2^{1/x} > 0, условие −3 ≤ y выполнено всегда; остаётся y ≤ 4.
шаг 4.Проверяем на ОДЗ
При |x| ≥ 2 показатель степени 1/x ∈ [−1/2; 1/2], поэтому 2^{1/x} ≤ 2^{1/2} < 4 — условие y ≤ 4 выполнено всегда. Значит подходит вся ОДЗ.