шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль; квадратный трёхчлен раскладываем на множители.

Условие 2·4ˣ⁻² − 1 ≠ 0 тоже даёт 4ˣ ≠ 8. Снимаем основание: 1 = 4⁰ → x = 0; 8 = 4^(3/2) → x = 3/2.

шаг 2.Замена и сведение к дроби

Вводим t = 4ˣ (t > 0, показательная функция всегда положительна). Каждую степень переписываем через t, левую дробь сокращаем на 1/8, знаменатели становятся t − 8 и (t − 1)(t − 8). Приводим всё к одной дроби и раскладываем числитель.

Числитель t(t − 1) − 7(t − 1) − 40 = t² − 8t − 33; по теореме Виета сумма корней 8, произведение −33 → корни 11 и −3, поэтому t² − 8t − 33 = (t − 11)(t + 3).

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = −3 и t = 11 — закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: t = 1 и t = 8 — выколоты. Все корни простые, знаки чередуются. Решение неравенства: (−∞; −3] ∪ (1; 8) ∪ [11; +∞). Условие замены t > 0 отсекает левый луч — остаётся (1; 8) ∪ [11; +∞).

Пробная точка t = 2 ∈ (1; 8): (2 − 11)(2 + 3) / ((2 − 1)(2 − 8)) = (−9·5)/(1·(−6)) = −45/−6 > 0 — знак «+», что и нужно для ≥ 0; через простые корни знаки чередуются.

шаг 4.Обратная замена

4ˣ = 8 ⟺ 2²ˣ = 2³ ⟺ x = 3/2; log₄11 ≈ 1,73.