Задача 10150628 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{4^{x} + 2^{x + 1} - 36}{2^{x} - 5} + \frac{4^{x + 1} - 2^{x + 5} + 4}{2^{x} - 8} \leq 5 \cdot 2^{x} + 7

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2^{x} - 5 \neq 0 \\ 2^{x} - 8 \neq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} 2^{x} \neq 5 \\ 2^{x} \neq 8 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq \log_{2} 5 \\ x \neq 3 \end{matrix}

Восьмёрка — степень двойки: 2ˣ = 8 = 2³ даёт x = 3 (приводим к одному основанию). Пятёрка степенью двойки не является, поэтому 2ˣ = 5 решается логарифмом: x = log₂5.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}

2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t

4^{x + 1} = 4 \cdot 4^{x} = 4 t^{2}, 2^{x + 5} = 32 \cdot 2^{x} = 32 t

\frac{t^{2} + 2 t - 36}{t - 5} + \frac{4 t^{2} - 32 t + 4}{t - 8} \leq 5 t + 7

Свойства степеней: 2ˣ⁺¹ = 2ˣ · 2 = 2t; 4ˣ⁺¹ = 4 · 4ˣ = 4t²; 2ˣ⁺⁵ = 2ˣ · 32 = 32t. Также 4ˣ = (2ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 5t + 7 влево и приводим первые две дроби к общему знаменателю (t − 5)(t − 8): первую домножаем на (t − 8), вторую — на (t − 5).

\frac{t^{2} + 2 t - 36}{t - 5} + \frac{4 t^{2} - 32 t + 4}{t - 8} - (5 t + 7) \leq 0

\frac{(t^{2} + 2 t - 36) (t - 8) + (4 t^{2} - 32 t + 4) (t - 5)}{(t - 5) (t - 8)} - (5 t + 7) \leq 0

шаг 4.Раскрываем числитель

Вносим 5t + 7 в общий знаменатель — оно домножается на (t − 5)(t − 8). Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

(t^{2} + 2 t - 36) (t - 8) + (4 t^{2} - 32 t + 4) (t - 5) -

- (5 t + 7) (t - 5) (t - 8) = (t^{3} - 6 t^{2} - 52 t + 288) +

+ (4 t^{3} - 52 t^{2} + 164 t - 20) - (5 t^{3} - 58 t^{2} + 109 t + 280) =

= (1 + 4 - 5) t^{3} + (- 6 - 52 + 58) t^{2} + (- 52 + 164 - 109) t +

+ (288 - 20 - 280) = 3 t - 12 = 3 (t - 4)

\frac{3 (t - 4)}{(t - 5) (t - 8)} \leq 0

Поразрядно: t³ → 1 + 4 − 5 = 0; t² → −6 − 52 + 58 = 0; t → −52 + 164 − 109 = 3; свободный → 288 − 20 − 280 = −12.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 4 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 5 и 8 — выколоты. На (−∞; 4) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 4] ∪ (5; 8).

\frac{3 (t - 4)}{(t - 5) (t - 8)} \leq 0

Пробная точка t = 1: 3(1 − 4)/((1 − 5)(1 − 8)) = (−9)/28 < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 4] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ ≤ 4.

1) 0 < t \leq 4

2^{x} \leq 4

2^{x} \leq 2^{2}

x \leq 2

2) 5 < t < 8

5 < 2^{x} < 8

2^{\log_{2} 5} < 2^{x} < 2^{3}

\log_{2} 5 < x < 3

log₂5 ≈ 2,32.

ответ

x \in (- \infty; 2] \cup (\log_{2} 5; 3)