Задача 10150692 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

В показателе степени дробь со знаменателем x + 2.

ОДЗ

x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq - 2

шаг 2.Анализ основания степени

Выделяем полный квадрат в основании степени — оно положительно при любом x; обозначим его a. Это важно: степень aᶠ⁽ˣ⁾ определена только при a > 0, а сравнить её с a¹ позволяет монотонность показательной функции aᵗ. Она зависит от a — при a > 1 возрастает, при a = 1 постоянна, при 0 < a < 1 убывает, — поэтому разбираем три случая: a > 1, a = 1, 0 < a < 1.

x^{2} + x + 1 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}

{(x + \frac{1}{2})}^{2} \geq 0 \Rightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0

a = x^{2} + x + 1

a^{\frac{x + 5}{x + 2}} \geq a^{1}

Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b² (здесь a = x, b = ½).

шаг 3.Случай a > 1

Случай a > 1: функция aᵗ возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степени сохраняется (остаётся ≥).

x^{2} + x + 1 > 1

x^{2} + x > 0

x (x + 1) > 0

x < - 1 или x > 0

\frac{x + 5}{x + 2} \geq 1

\frac{x + 5 - (x + 2)}{x + 2} \geq 0

\frac{3}{x + 2} \geq 0

Метод интервалов: на каждой прямой отмечаем нули, по пробной точке ставим знак на крайнем промежутке, дальше знаки чередуются; берём промежутки нужного знака. Пересечение двух прямых даёт результат случая.

шаг 4.Случай a = 1

Если основание степени a = 1, то и aᶠ⁽ˣ⁾ = 1, и a¹ = 1 — единица при любом показателе степени даёт 1. Поэтому неравенство 1 ≥ 1 верно всегда, сравнивать показатели степени не нужно. Достаточно найти, где a = 1, то есть решить x² + x + 1 = 1.

x^{2} + x + 1 = 1

x^{2} + x = 0

x (x + 1) = 0

x = 0 или x = - 1

шаг 5.Случай 0 < a < 1

Случай 0 < a < 1: функция aᵗ убывает, поэтому знак неравенства между показателями степени меняется на противоположный (становится ≤). Найденные интервалы (−1; 0) и (−∞; −2) не пересекаются — этот случай решений не даёт, пустое множество.

0 < x^{2} + x + 1 < 1

x^{2} + x + 1 < 1

x^{2} + x < 0

x (x + 1) < 0

- 1 < x < 0

\frac{x + 5}{x + 2} \leq 1

\frac{x + 5 - (x + 2)}{x + 2} \leq 0

\frac{3}{x + 2} \leq 0

x < - 2

(- 1; 0) \cap (- \infty; - 2) = ⌀

Левая часть x² + x + 1 > 0 верна всегда, поэтому работает только x² + x + 1 < 1. Интервалы (−1; 0) и (−∞; −2) не пересекаются — случай пустой.

шаг 6.Объединяем

Случай a > 1 дал x ∈ (−2; −1) ∪ (0; +∞). Случай a = 1 добавил граничные точки x = −1 и x = 0: там основание степени равно 1, неравенство 1 ≥ 1 верно — точки входят в ответ (границы становятся закрытыми). Случай 0 < a < 1 пустой. Число x — решение, если подходит хотя бы под один случай, поэтому результаты случаев соединяем через объединение, а не пересечение.

условие