Задача 10150577 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4^{6 x - x^{2} - 4} - 34 \cdot 2^{6 x - x^{2} - 4} + 64 \geq 0

шаг 1.Двойная замена

ОДЗ — вся числовая прямая. Обозначим показатель t = 6x − x² − 4. Заметим: 4ᵗ = (2ᵗ)². Замена y = 2ᵗ, y > 0 — показательная функция всегда положительна.

t = 6 x - x^{2} - 4

4^{t} = {(2^{t})}^{2}, y = 2^{t}, y > 0

y^{2} - 34 y + 64 \geq 0

D = 34^{2} - 4 \cdot 64 = 900 = 30^{2}

y = \frac{34 \pm 30}{2} \begin{matrix} = 32 \\ = 2 \end{matrix}

(y - 2) (y - 32) \geq 0

Виета для y² − 34y + 64: произведение 64 = 2·32, сумма 34. Парабола ветвями вверх, поэтому ≥ 0 при y ≤ 2 и y ≥ 32.

шаг 2.Обратная замена y → t

Возвращаемся к t. Основание 2 > 1, возрастает — снимаем основание степени. Обе границы — степени двойки: 2 = 2¹, 32 = 2⁵.

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ y \leq 2 & y \geq 32 \\ 2^{t} \leq 2^{1} & 2^{t} \geq 2^{5} \\ t \leq 1 & t \geq 5 \end{matrix}

шаг 3.Решаем в x

Подставляем t = 6x − x² − 4 и решаем квадратные неравенства. Ответы случаев объединяем, так как случаи — совокупность (ИЛИ).

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ 6 x - x^{2} - 4 \leq 1 & 6 x - x^{2} - 4 \geq 5 \\ x^{2} - 6 x + 5 \geq 0 & x^{2} - 6 x + 9 \leq 0 \\ (x - 1) (x - 5) \geq 0 & {(x - 3)}^{2} \leq 0 \\ x \leq 1 или x \geq 5 & x = 3 \end{matrix}

Случай 1: Виета для x² − 6x + 5 → корни 1 и 5; парабола вверх → ≥ 0 при x ≤ 1 и x ≥ 5. Случай 2: (x − 3)² ≥ 0 всегда → ≤ 0 только при x = 3 (изолированная точка).

ответ

x \in (- \infty; 1] \cup {3} \cup [5; + \infty)