Задача 10150727 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 5^{x} \neq 125 = 5^{3} \\ 5^{x} \neq 25 = 5^{2} \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 3 \\ x \neq 2 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 5ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

t = 5^{x}, t > 0

\frac{6}{t - 125} \leq \frac{1}{t - 25}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{6}{t - 125} - \frac{1}{t - 25} \leq 0

\frac{6 (t - 25) - (t - 125)}{(t - 125) (t - 25)} \leq 0

\frac{6 t - 150 - t + 125}{(t - 125) (t - 25)} \leq 0

\frac{5 t - 25}{(t - 125) (t - 25)} \leq 0

\frac{5 (t - 5)}{(t - 125) (t - 25)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 5 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 25 и 125 — выколоты. На (−∞; 5] дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 5] ∪ (25; 125).

Пробная точка t = 10 на (5; 25): числитель 5(10 − 5) > 0, множители (10 − 125) и (10 − 25) отрицательны → «+», дальше знаки чередуются.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 5ˣ. Основание степени 5 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 отдельно не проверяем: t = 5ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница первого интервала (0; 5] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 5ˣ ≤ 5.

1) 5^{x} \leq 5^{1}

x \leq 1

2) 5^{2} < 5^{x} < 5^{3}

2 < x < 3

Граница x = 1 закрыта (t = 5 — корень числителя), точки x = 2 и x = 3 выколоты по ОДЗ.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сводим к одной дроби

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ