№16 Неравенства — ЕГЭ | Мария Беличенко

П · повышенный уровень2 балла~ 15 мин (профильный)

Рассматриваются задачи логарифмического, показательного или дробно-рационального типа, нередко содержащие модуль, требующие строгого и последовательного вывода решения с записью ответа в виде объединения промежутков.

Пул задач

Задачи разбиты на 5 глав по 3 подглавы в каждой и выстроены по принципу нарастающей сложности.

Глава 1

Алгебраические неравенства

задач:202

$\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \le 0$

1-1

Дробно-рациональные неравенства

Отношение двух многочленов P(x) / Q(x).

$|x-3| \ge 2x+1$

1-2

Неравенства с модулем

Содержит модуль выражения с переменной.

$\sqrt{x+1} > x-2$

1-3

Иррациональные неравенства

Содержит арифметический корень от выражения с переменной.

Глава 2

Показательные неравенства

задач:244

$4^{x}-29\cdot 2^{x}+168\le 0$

2-1

Сводятся к показательному уравнению или квадрату

Приведение к одному основанию и замена t=aˣ без дробей

$\dfrac{2}{7^{x}-7}\ge\dfrac{5}{7^{x}-4}$

2-2

Дробно-рациональные относительно aˣ

Дробь со степенью в знаменателе — метод интервалов после замены

$25^{x}-20^{x}-2\cdot 16^{x}\le 0$

2-3

Специальные структуры и приёмы

Однородные, группировка, иррациональные, нестандартные

Глава 3

Логарифмы фиксированного основания

задач:255

$\log_{2}^{2} x - 3\log_{2} x + 2 \le 0$

3-1

Многочлены первой и второй степени относительно log

Логарифм в первой или второй степени, без отношения логарифмов.

$\frac{\log_{3} x - 1}{\log_{3} x + 2} \ge 0$

3-2

Дробно-рациональные относительно log

Отношение выражений, числитель и знаменатель которого содержат логарифм.

$\log_{2}\!\left(2^{x}-1\right) \le 3$

3-3

Логарифмически-показательные неравенства

Логарифм от выражения, содержащего показательную функцию.

Глава 4

Логарифмы в сложных конструкциях

задач:168

$\log_{3}\!\left(\sqrt{x}+1\right) > 1$

4-1

Логарифмически-иррациональные неравенства

Логарифм в комбинации с арифметическим корнем.

$\log_{2}|x-1| + \log_{2}|x+3| \le 1$

4-2

Комбинированные с логарифмом фиксированного основания

Несколько логарифмов в форме, не сводимой к типам 3-1 — 3-4.

$\log_{x-1}(2x+3) \ge 1$

4-3

Логарифмы с переменным основанием

Основание логарифма зависит от переменной.

Глава 5

Специальные техники и смешанные

задач:113

$\log_{x^{2}-4}(x+5) \ge 0$

5-1

Логарифмы с переменным основанием: метод рационализации

Логарифм с переменным основанием в форме, допускающей рационализацию.

$2\sin^{2} x - \sin x \le 0$

5-2

Тригонометрические неравенства

Содержит тригонометрические функции (sin, cos, tg, ctg).

$\sqrt{x} \cdot \log_{2} x \ge 1$

5-3

Комбинированные неравенства

Комбинация структур, не сводящаяся к одному типу.

Что проверяется

Решение логарифмических, показательных и дробно-рациональных неравенств.
Работа с модулями и сменой знака при преобразованиях.
Метод интервалов и строгий учёт ОДЗ.
Оформление ответа в виде объединения числовых промежутков.

Древо разделов

Глава 1Алгебраические неравенства
задач:202

Глава 2Показательные неравенства
задач:244

Глава 3Логарифмы фиксированного основания
задач:253

Глава 4Логарифмы в сложных конструкциях
задач:168

Глава 5Специальные техники и смешанные
задач:113

Как оценивается

2 балла — получен верный ответ при полном обоснованном решении.
1 балл — допущена единичная вычислительная ошибка, но метод и структура решения верны; или верно решена только одна из двух частей системы.
0 баллов — ответ неверен из-за ошибки в методе, в ОДЗ или в учёте знака.

На что обратить внимание

Сначала выпишите ОДЗ, потом сводите неравенство к удобному виду — часто к f(x) · g(x) ≤ 0 или f(x) / g(x) ≤ 0, где левая часть разложена на множители. Дальше — метод интервалов на числовой прямой. При логарифмических неравенствах не забывайте: если основание меньше единицы, знак неравенства меняется. Ответ записывайте через объединения промежутков с правильными скобками (круглые — строгое, квадратные — нестрогое).