условие
шаг 1.Готовим к замене
ОДЗ — вся числовая прямая. 25ˣ = (5ˣ)², 10ˣ = 5ˣ·2ˣ, 4ˣ = (2ˣ)² — выражение однородное по 5ˣ и 2ˣ. Делим обе части на 4ˣ = (2ˣ)² > 0 (положительное, знак сохраняется) и переходим к замене t = (5/2)ˣ.
Виета: для t² − 5t − 6 сумма 5, произведение −6. У нас (−1) + 6 = 5 и (−1)·6 = −6 — оба сходятся.
шаг 2.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = −1 и t = 6 — закрашены (нестрогое ≤). Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].
Пробная точка t = 0 на (−1; 6): (0 + 1)(0 − 6) = 1·(−6) = −6 < 0, значит знак «−».
шаг 3.Обратная замена
Из пересечения: 0 < (5/2)ˣ ≤ 6. Левую часть «(5/2)ˣ > 0» отбрасываем — она выполнена при любом x (показательная функция всюду положительна). Основание степени 5/2 > 1, функция возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
6 не является степенью числа 5/2, оставляем log₅₍₂₎6.