шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Девятка — степень тройки: 3ˣ = 9 = 3² даёт x = 2 (приводим к одному основанию). Пятёрка степенью тройки не является, поэтому 3ˣ = 5 решается логарифмом: x = log₃5.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 3ˣ⁺¹ = 3ˣ · 3, поэтому 2 · 3ˣ⁺¹ = 6 · 3ˣ = 6t. Также 9ˣ = (3ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим t + 5 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 5)(t − 9): первую дробь домножаем на (t − 9), вторую — на (t − 5), а t + 5 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

Поразрядно: t³ → 1 − 1 = 0; t² → −15 + 6 + 9 = 0; t → 58 − 81 + 25 = 2; свободный → −36 + 255 − 225 = −6.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 5 и 9 — выколоты. На (−∞; 3) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 3] ∪ (5; 9).

Пробная точка t = 1: 2(1 − 3)/((1 − 5)(1 − 9)) = (−4)/32 < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 3] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 3ˣ ≤ 3.

log₃5 ≈ 1,46.