Задача 10150661 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(16^{x} - 2 \cdot 4^{x + 1})}^{2} + 23 (16^{x} - 2 \cdot 4^{x + 1}) + 112 \geq 0

ОДЗ — вся числовая прямая. Замечаем, что выражение 16ˣ − 2·4ˣ⁺¹ повторяется — обозначим его y.

y = 16^{x} - 2 \cdot 4^{x + 1}

y^{2} + 23 y + 112 \geq 0

D = 529 - 448 = 81

y = \frac{- 23 \pm 9}{2} \begin{matrix} = - 7 \\ = - 16 \end{matrix}

y \leq - 16 или y \geq - 7

Ведущий коэффициент положительный — парабола вверх, ≥ 0 вне корней.

Подставляем t = 4ˣ (t > 0). Случаи связаны через ИЛИ — решаем каждый отдельно.

t = 4^{x}, t > 0

16^{x} = t^{2}, 4^{x + 1} = 4 t

y = t^{2} - 8 t

1 t^{2} - 8 t \leq - 16

t^{2} - 8 t + 16 \leq 0

{(t - 4)}^{2} \leq 0 ⟹ t = 4

2 t^{2} - 8 t \geq - 7

t^{2} - 8 t + 7 \geq 0

D = 64 - 28 = 36

t = \frac{8 \pm 6}{2} \begin{matrix} = 7 \\ = 1 \end{matrix}

(t - 1) (t - 7) \geq 0

① даёт изолированную точку t = 4 (квадрат ≥ 0, равенство только при t = 4). Условие t > 0 не ограничивает — все корни положительны.

Основание 4 > 1 — показательная функция возрастает, сравниваем показатели.

\begin{matrix} t \leq 1 & t = 4 & t \geq 7 \\ 4^{x} \leq 4^{0} & 4^{x} = 4^{1} & 4^{x} \geq 7 \\ x \leq 0 & x = 1 & x \geq \log_{4} 7 \end{matrix}

Проверка: x = 0 ⇒ t = 1, y = 1 − 8 = −7, подставляем: (−7)² + 23·(−7) + 112 = 49 − 161 + 112 = 0 ≥ 0 ✓ — граница входит в ответ.

x \in (- \infty; 0] \cup {1} \cup [\log_{4} 7; + \infty)