условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль. Так как 9ˣ² = (3ˣ²)², знаменатель сворачивается в полный квадрат 9ˣ² − 18·3ˣ² + 81 = (3ˣ² − 9)², поэтому достаточно потребовать 3ˣ² ≠ 9 = 3². Функция 3ᵗ строго возрастает (основание степени 3 > 1)Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому условие 3ˣ² ≠ 3² переходит в x² ≠ 2.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
ОДЗ
шаг 2.Раскладываем на множители
Числитель раскладываем группировкой; знаменатель уже свёрнут в полный квадрат (3ˣ² − 9)².
Группировка: x³ − x² = x²(x − 1), −x + 1 = −(x − 1) — общий множитель (x − 1); затем x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
шаг 3.Метод интервалов в x
Числитель (x − 1)²(x + 1) — многочлен, знаменатель (3ˣ² − 9)² — квадрат разности степеней одного основания (3ˣ² − 3²); к дроби применим метод интерваловКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0..
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
Знаменатель (3ˣ² − 9)² > 0 — знак дроби равен знаку числителя (x − 1)²(x + 1). Корень x = 1 чётной кратности — петелька (закрашена изолированной точкой); x = −1 — закрашен (нестрогое ≤). Точки x = ±√2 — выколоты по ОДЗ.
Пробная точка x = −2: (−2 − 1)²(−2 + 1)/(3⁴ − 9)² = 9·(−1)/5184 < 0 → знак «−». Через петельки x = 1 и x = ±√2 знак не меняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.