условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль. Поскольку 0,5 = 2⁻¹, 4ˣ⁻¹ = 2²ˣ⁻², получаем 0,5·4ˣ⁻¹ = 2²ˣ⁻³. Единицу пишем как 2⁰ и снимаем основание степениПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— переходим к показателю степени.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
ОДЗ
шаг 2.Приводим к одному основанию степени
Числитель приводим к основанию степени 5 (25 = 5², 0,2 = 5⁻¹); знаменатель — к основанию степени 2 (0,5·4ˣ⁻¹ = 2²ˣ⁻³ уже из ОДЗ).
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
И числитель, и знаменатель — разности степеней одного основания (единицу пишем как 2⁰). Применяем метод рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: aᶠ − aᵍ имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Основания 5 и 2 больше 1, поэтому (a − 1) > 0 и знак совпадает со знаком f − g — заменяем каждую разность на разность показателей.Разложение x² − 9 — по формуле разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b), здесь a = x, b = 3. Неравенство стало рациональным — дальше метод интервалов.Когда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
шаг 4.Метод интервалов в x
Корни числителя x = −3 и x = 3 (множители (x − 3) и (x + 3)) — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя x = 3/2 — выколота по ОДЗ. Знак на интервалах определяем пробной точкой.
Пробная точка x = 0: (3·0² − 27)/(2·0 − 3) = (−27)/(−3) = 9 > 0 → знак «+» на интервале (−3; 3/2).