условие
шаг 1.Область допустимых значений
Под корнями в знаменателе стоят x и x + 4 — оба неотрицательны. Ограничивает только √x.
ОДЗ
шаг 2.Анализируем знаменатель
При x ≥ 0 всегда √x < √(x + 4), поэтому знаменатель строго отрицателен.
шаг 3.Делаем замену
Пусть p = √(3ˣ²⁺ˣ) = (√3)ˣ²⁺ˣ, причём p > 0. Знаменатель отрицателен, поэтому дробь ≤ 0 равносильна тому, что числитель ≥ 0.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем p = 3^{(x²+x)/2}. Основание степени 3 > 1, возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— сравниваем показатели степени; учитываем ОДЗ x ≥ 0.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие p > 0 из замены отдельно не проверяем: p = 3^{(x²+x)/2} положительна при любом x, поэтому нижняя граница p > 0 в случае 1 (0 < p ≤ 1) выполняется автоматически.
Точка x = 0 — изолированное решение; далее весь луч x ≥ 1.