шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Тройка и девятка — степени тройки: 3ˣ = 3 = 3¹ даёт x = 1, а 3ˣ = 9 = 3² даёт x = 2 (приводим к одному основанию). Оба ограничения — целые степени тройки.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 3ˣ⁺² = 3ˣ · 3², поэтому 3ˣ⁺² = 9 · 3ˣ = 9t. Также 9ˣ = (3ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 2t − 6 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 3)(t − 9): первую дробь домножаем на (t − 9), вторую — на (t − 3), а 2t − 6 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

Поразрядно: t³ → 1 + 1 − 2 = 0; t² → −18 − 12 + 30 = 0; t → 101 + 28 − 126 = 3; свободный → −180 − 3 + 162 = −21.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 7 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 3 и 9 — выколоты. На (−∞; 3) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 3) ∪ [7; 9).

Пробная точка t = 0: 3(0 − 7)/((0 − 3)(0 − 9)) = (−21)/27 < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 3) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 3ˣ < 3.

log₃7 ≈ 1,77.