Задача 10150589 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{5^{2 x^{2} + 2 x}}{125} - 5^{2 x^{2}} + 25 \leq \frac{5^{2 x}}{5}

ОДЗ — вся числовая прямая. Приводим коэффициенты к степеням пятёрки: 1/125 = 5⁻³, 1/5 = 5⁻¹. Группируем по парам и выносим общий множитель.

5^{2 x^{2} + 2 x - 3} - 5^{2 x^{2}} + 5^{2} - 5^{2 x - 1} \leq 0

5^{2 x^{2}} (5^{2 x - 3} - 1) - (5^{2 x - 1} - 5^{2}) \leq 0

(5^{2 x - 1} - 5^{2}) (\frac{5^{2 x^{2}}}{25} - 1) \leq 0

(5^{2 x - 1} - 5^{2}) (5^{2 x^{2} - 2} - 1) \leq 0

Группируем (1+2) и (3+4). Из первой пары выносим 5^{2x²}, из второй — (−1). Замечаем 5^{2x−3}−1 = (5^{2x−1}−25)/25.

Произведение ≤ 0: множители разных знаков или равны нулю.

A \cdot B \leq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 5^{2 x - 1} - 5^{2} \geq 0 \\ 5^{2 x^{2} - 2} - 1 \leq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 5^{2 x - 1} - 5^{2} \leq 0 \\ 5^{2 x^{2} - 2} - 1 \geq 0 \end{matrix} \\ в) 5^{2 x - 1} - 5^{2} = 0 \\ г) 5^{2 x^{2} - 2} - 1 = 0 \end{matrix}

Основание 5 > 1, возрастает — снимаем основание степени.

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 5^{2 x - 1} \geq 5^{2} \\ 5^{2 x^{2} - 2} \leq 5^{0} \end{matrix} & {\begin{matrix} 5^{2 x - 1} \leq 5^{2} \\ 5^{2 x^{2} - 2} \geq 5^{0} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} 2 x - 1 \geq 2 \\ 2 x^{2} - 2 \leq 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} 2 x - 1 \leq 2 \\ 2 x^{2} - 2 \geq 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \geq \frac{3}{2} \\ - 1 \leq x \leq 1 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \leq \frac{3}{2} \\ x \leq - 1 или x \geq 1 \end{matrix} \\ ⌀ & x \in (- \infty; - 1] \cup [1; \frac{3}{2}] \end{matrix}

(а) пусто: x ≥ 3/2 и −1 ≤ x ≤ 1 несовместимы.

Решаем оставшиеся случаи и объединяем. Из (а) ответ пустой, из (в) и (г) — точки, которые уже входят в (б).

\begin{matrix} в) & г) \\ 5^{2 x - 1} = 5^{2} & 5^{2 x^{2} - 2} = 5^{0} \\ 2 x - 1 = 2 & 2 x^{2} - 2 = 0 \\ x = \frac{3}{2} & x = \pm 1 \\ x \in {\frac{3}{2}} & x \in {- 1; 1} \end{matrix}

x \in (- \infty; - 1] \cup [1; \frac{3}{2}]