шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение 18x² − 24x + 8 = 2(3x − 2)² ≥ 0 при всех x, поэтому корень определён всюду. Ограничение даёт только знаменатель скобки.

шаг 2.Анализируем корень

Подкоренное выражение — полный квадрат, поэтому корень равен √2·|3x − 2| ≥ 0 при всех x и обращается в нуль при x = 2/3.

шаг 3.Упрощаем скобку

Пусть t = 5ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна. Тогда 25ˣ = t² и 25ˣ − 5ˣ⁺² = t(t − 25).

Числитель t² − 8t + 15 раскладываем по теореме Виета: сумма корней 8, произведение 15 → корни 3 и 5, поэтому t² − 8t + 15 = (t − 3)(t − 5).

шаг 4.Анализ произведения

Корень √2·|3x − 2| ≥ 0, поэтому произведение ≥ 0, если корень = 0 (x = 2/3) или скобка ≥ 0. Скобку решаем методом интервалов (t > 0). Корни числителя: t = 3, t = 5 — закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: t = 0, t = 25 — выколоты; t = 0 отсекается условием t > 0.

Пробная точка t = 4: (4 − 3)(4 − 5)/(4(4 − 25)) = (−1)/(−84) > 0 → знак «+». Скобка ≥ 0 при t ∈ [3; 5] ∪ (25; +∞).

шаг 5.Обратная замена

log₅3 ≈ 0,68 > 2/3, поэтому x = 2/3 — отдельная изолированная точка.