Задача 10150590 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3 \cdot 45^{x} - 3 \cdot 27^{x} - 28 \cdot 15^{x} + 28 \cdot 9^{x} + 9 \cdot 5^{x} - 3^{x + 2} \leq 0

ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем составные основания через 3ˣ и 5ˣ.

45^{x} = 9^{x} \cdot 5^{x}, 27^{x} = 9^{x} \cdot 3^{x}

15^{x} = 3^{x} \cdot 5^{x}, 3^{x + 2} = 9 \cdot 3^{x}

3 \cdot 9^{x} \cdot 5^{x} - 3 \cdot 9^{x} \cdot 3^{x} - 28 \cdot 3^{x} \cdot 5^{x} + 28 \cdot 9^{x} + 9 \cdot 5^{x} - 9 \cdot 3^{x} \leq 0

Собираем слагаемые с 5ˣ и без 5ˣ. Общий множитель (5ˣ − 3ˣ).

5^{x} (3 \cdot 9^{x} - 28 \cdot 3^{x} + 9) - 3^{x} (3 \cdot 9^{x} - 28 \cdot 3^{x} + 9) \leq 0

(5^{x} - 3^{x}) (3 \cdot 9^{x} - 28 \cdot 3^{x} + 9) \leq 0

Произведение ≤ 0: множители разных знаков или равны нулю.

A \cdot B \leq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 5^{x} - 3^{x} \geq 0 \\ 3 \cdot 9^{x} - 28 \cdot 3^{x} + 9 \leq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 5^{x} - 3^{x} \leq 0 \\ 3 \cdot 9^{x} - 28 \cdot 3^{x} + 9 \geq 0 \end{matrix} \\ в) 5^{x} - 3^{x} = 0 \\ г) 3 \cdot 9^{x} - 28 \cdot 3^{x} + 9 = 0 \end{matrix}

Раскладываем второй множитель и снимаем основания. Основания > 1, возрастают.

3 \cdot {(3^{x})}^{2} - 28 \cdot 3^{x} + 9 = 0

D = 28^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 676 = 26^{2}

3^{x} = \frac{28 \pm 26}{6} \begin{matrix} = 9 \\ = \frac{1}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 5^{x} \geq 3^{x} \\ \frac{1}{3} \leq 3^{x} \leq 9 \end{matrix} & {\begin{matrix} 5^{x} \leq 3^{x} \\ 3^{x} \leq \frac{1}{3} или 3^{x} \geq 9 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \geq 0 \\ - 1 \leq x \leq 2 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \leq 0 \\ x \leq - 1 или x \geq 2 \end{matrix} \\ x \in [0; 2] & x \in (- \infty; - 1] \end{matrix}

5ˣ ≥ 3ˣ ⟺ (5/3)ˣ ≥ 1 ⟺ x ≥ 0. B ≤ 0 между корнями (парабола вверх): 1/3 ≤ 3ˣ ≤ 9 ⟺ −1 ≤ x ≤ 2.

Решаем оставшиеся случаи и объединяем. Все точки из (в) и (г) уже входят в (а) или (б).

\begin{matrix} в) & г) \\ 5^{x} = 3^{x} & 3 \cdot {(3^{x})}^{2} - 28 \cdot 3^{x} + 9 = 0 \\ x = 0 & 3^{x} = 9 или 3^{x} = \frac{1}{3} \\ x = 2 или x = - 1 \\ x \in {0} & x \in {- 1; 2} \end{matrix}

x \in (- \infty; - 1] \cup [0; 2]