Задача 10150731 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель 2ˣ − 32 не обращается в нуль; знаменатель 2ˣ + 64 положителен при любом x, ограничений не даёт.

ОДЗ

2^{x} \neq 32 = 2^{5} ⟹ x \neq 5

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

t = 2^{x}, t > 0

\frac{2}{t + 64} \geq \frac{1}{t - 32}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{2}{t + 64} - \frac{1}{t - 32} \geq 0

\frac{2 (t - 32) - (t + 64)}{(t + 64) (t - 32)} \geq 0

\frac{2 t - 64 - t - 64}{(t + 64) (t - 32)} \geq 0

\frac{t - 128}{(t + 64) (t - 32)} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 128 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва: t = 32 — выколота; t = −64 — нуль знаменателя t + 64, но он отрицателен. На (−64; 32) дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось вместе с точкой −64 — после пересечения остаётся (0; 32) ∪ [128; +∞).

Пробная точка t = 1 на (−64; 32): числитель (1 − 128) < 0, множители (1 + 64) > 0 и (1 − 32) < 0 → (−)/((+)(−)) = «+», дальше знаки чередуются.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница первого интервала (0; 32) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ < 32.

1) 2^{x} < 2^{5}

x < 5

2) 2^{x} \geq 2^{7}

x \geq 7

Точка x = 5 выколота по ОДЗ; граница x = 7 закрыта (t = 128 — корень числителя).

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сводим к одной дроби

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ