Задача 10150645 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль. Приравниваем его к нулю и решаем показательное уравнение: 64 и 16 — степени двойки (64 = 2⁶, 16 = 2⁴), приводим к одному основанию и приравниваем показатели.

ОДЗ

2 \cdot 64^{x} - 32 \neq 0

2 \cdot 64^{x} \neq 32

64^{x} \neq 16

2^{6 x} \neq 2^{4}

6 x \neq 4

x \neq \frac{2}{3}

Приводим к основанию 2: 64 = 2⁶, 16 = 2⁴, поэтому 64ˣ = 16 равносильно 6x = 4. Тот же корень x = 2/3 отвечает точке разрыва t = 8ˣ = 4 после замены.

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 8ˣ. Показательная функция положительна, поэтому t > 0. Остальные степени выражаем через t: 8ˣ⁺¹ = 8·8ˣ, а 64ˣ = (8²)ˣ = (8ˣ)². Знаменатель раскладываем как разность квадратов; множитель t + 4 > 0 при t > 0.

t = 8^{x}, t > 0

8^{x + 1} = 8 \cdot 8^{x} = 8 t

64^{x} = {(8^{x})}^{2} = t^{2}

2 \cdot 64^{x} - 32 = 2 t^{2} - 32 = 2 (t^{2} - 16) = 2 (t - 4) (t + 4)

\frac{8 t - 40}{2 (t - 4) (t + 4)} \leq 1

\frac{8 (t - 5)}{2 (t - 4) (t + 4)} \leq 1

\frac{4 (t - 5)}{(t - 4) (t + 4)} \leq 1

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{4 (t - 5) - (t - 4) (t + 4)}{(t - 4) (t + 4)} \leq 0

\frac{4 t - 20 - t^{2} + 16}{(t - 4) (t + 4)} \leq 0

\frac{- {(t - 2)}^{2}}{(t - 4) (t + 4)} \leq 0

4t − 20 − (t² − 16) = −t² + 4t − 4 = −(t − 2)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Наносим на ось все особые точки выражения −(t − 2)²/((t − 4)(t + 4)). Корень числителя t = 2 — чётной кратности 2: рисуем петельку, знак через точку не меняется; точка закрашена (нестрогое ≤) и даёт в ответе изолированную точку. Точки разрыва знаменателя t = −4 и t = 4 — выколоты. По методу интервалов дробь ≤ 0 на (−∞; −4) ∪ {2} ∪ (4; +∞). Условие замены t = 8ˣ > 0 отсекает левый луч (−∞; −4) — остаётся {2} ∪ (4; +∞).

Пробная точка t = 0: −(0 − 2)²/((0 − 4)(0 + 4)) = −4/(−16) > 0 → в средней зоне «+». Точка t = 5: −(5 − 2)²/((5 − 4)(5 + 4)) = −9/9 < 0 → справа «−»; слева от t = −4 знак тоже «−». Через петельку при t = 2 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 8ˣ, и приводим обе части к основанию 2 (8 = 2³). Основание 2 > 1, показательная функция возрастает — при переходе к показателям знак неравенства сохраняется.

1) 8^{x} = 2

2^{3 x} = 2^{1}

3 x = 1

x = \frac{1}{3}

2) 8^{x} > 4

2^{3 x} > 2^{2}

3 x > 2

x > \frac{2}{3}

Из 2³ˣ = 2¹ следует 3x = 1, из 2³ˣ > 2² — 3x > 2. Точка x = 1/3 — изолированное решение (отвечает закрашенной t = 2), луч x > 2/3 — интервалу t > 4.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сводим к одной дроби

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ