Задача 10150581 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(5^{x + 2} + 5^{2 - x}) \cdot x^{2} \geq \frac{125 x^{2}}{2}

шаг 1.Выносим x² за скобку

ОДЗ — вся числовая прямая. Произведение ≥ 0, когда оба множителя одного знака.

(5^{x + 2} + 5^{2 - x}) \cdot x^{2} - \frac{125 x^{2}}{2} \geq 0

x^{2} \cdot (5^{x + 2} + 5^{2 - x} - \frac{125}{2}) \geq 0

\begin{matrix} Случай 1: оба \geq 0 & Случай 2: оба \leq 0 \\ {\begin{matrix} 5^{x + 2} + 5^{2 - x} - \frac{125}{2} \geq 0 \\ x^{2} \geq 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} 5^{x + 2} + 5^{2 - x} - \frac{125}{2} \leq 0 \\ x^{2} \leq 0 \end{matrix} \\ решаем далее & x^{2} < 0 невозможно \\ ⌀ \end{matrix}

При x = 0: левая часть = 0 ≥ 0, выполнено — точка x = 0 войдёт в ответ отдельно.

шаг 2.Делаем замену

Раскладываем степени и делаем замену t = 5ˣ, t > 0 — показательная функция всегда положительна.

\begin{matrix} ① \\ ② \end{matrix} {\begin{matrix} 5^{x + 2} + 5^{2 - x} - \frac{125}{2} \geq 0 \\ x^{2} \geq 0 — всегда \end{matrix}

Решаем ①:

5^{x + 2} = 5^{x} \cdot 5^{2} = 25 \cdot 5^{x}

5^{2 - x} = \frac{5^{2}}{5^{x}} = \frac{25}{5^{x}}

25 \cdot 5^{x} + \frac{25}{5^{x}} - \frac{125}{2} \geq 0

t = 5^{x}, t > 0

25 t + \frac{25}{t} - \frac{125}{2} \geq 0

\frac{50 t^{2} - 125 t + 50}{2 t} \geq 0

\frac{25 (2 t - 1) (t - 2)}{2 t} \geq 0

Виета для 2t² − 5t + 2: произведение 1, сумма 5/2 → корни 2 и 1/2. Раскладываем: 2(t − 1/2)(t − 2) = (2t − 1)(t − 2).

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1/2 и t = 2 закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: 0 — выколота. Условие t > 0 отсекает (−∞; 0).

Знаки чередуются через каждый корень нечётной кратности и через выколотую t = 0. Пересечение: (0; 1/2] ∪ [2; +∞).

шаг 4.Обратная замена

Подставляем t = 5ˣ. Граница t = 0 не проверяется: показательная функция всегда положительна, 5ˣ > 0. Основание 5 > 1, возрастает — снимаем основание степени.

\begin{matrix} t \in (0; \frac{1}{2}] & t \in [2; + \infty) \\ 5^{x} \leq \frac{1}{2} & 5^{x} \geq 2 \\ x \leq \log_{5} \frac{1}{2} & x \geq \log_{5} 2 \\ x \leq - \log_{5} 2 \end{matrix}

log₅(1/2) = −log₅2.

шаг 5.Решаем ② и находим ответ

Произведение ≥ 0 в четырёх случаях. В (а) и (б) оба множителя одного знака — берём пересечение внутри каждой системы. В (в) и (г) хотя бы один множитель равен нулю — добавляем эти точки к ответу. Итоговый ответ: объединение результатов (а), (б), (в), (г).

A \cdot B \geq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} ① \geq 0 \\ ② \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow (- \infty; - \log_{5} 2] \cup [\log_{5} 2; + \infty) \\ б) {\begin{matrix} ① \leq 0 \\ ② \leq 0 \end{matrix} \Rightarrow ⌀ \\ в) ① = 0 \Rightarrow x = - \log_{5} 2 или x = \log_{5} 2 \\ г) ② = 0 \Rightarrow x = 0 \end{matrix}

(б) даёт ∅ (x² < 0 невозможно). (в) не добавляет новых точек — границы ±log₅2 уже входят в (а). Единственная новая точка — x = 0 из (г).

ответ

x \in (- \infty; - \log_{5} 2] \cup {0} \cup [\log_{5} 2; + \infty)

$(3^{x + 2} + 3^{2 - x}) \cdot x^{2} \geq \frac{45 x^{2}}{2}$