Задача 10150689 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(2^{x} + 0,09 \cdot 2^{- x}) \cdot \frac{1}{2 x} \geq (2^{x} + 0,09 \cdot 2^{- x}) \cdot \frac{1}{1 - x}

Знаменатели 2x и 1 − x не равны нулю.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \\ 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \end{matrix}

Переносим всё в левую часть, потом выносим общую скобку (2ˣ + 0,09·2⁻ˣ).

(2^{x} + 0,09 \cdot 2^{- x}) \frac{1}{2 x} - (2^{x} + 0,09 \cdot 2^{- x}) \frac{1}{1 - x} \geq 0

(2^{x} + 0,09 \cdot 2^{- x}) (\frac{1}{2 x} - \frac{1}{1 - x}) \geq 0

Оба слагаемых 2ˣ > 0 и 0,09·2⁻ˣ > 0, поэтому сумма строго положительна при любом x. Делим обе части на неё.

\frac{1}{2 x} - \frac{1}{1 - x} \geq 0

\frac{1 - x - 2 x}{2 x (1 - x)} \geq 0

\frac{1 - 3 x}{2 x (1 - x)} \geq 0

Нули: x = 1/3 (числитель, закрашен). Точки разрыва: x = 0 и x = 1 (знаменатель, выколоты).

Пробная точка x = 1/6: (1 − 1/2)/(2·(1/6)·(5/6)) = (1/2)/(5/18) = 9/5 > 0, знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

x \in (0; \frac{1}{3}] \cup (1; + \infty)