шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: 2⁰ = 1. Поэтому 2ˣ = 1 ⟺ x = 0.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

шаг 3.Сводим к одной дроби

По теореме Виета для t² − t − 240 = 0: сумма корней равна −(−1) = 1, произведение равно −240. Ищем два числа с такой суммой и произведением: это 16 и −15 (16 + (−15) = 1 и 16 · (−15) = −240). Значит t² − t − 240 = (t − 16)(t + 15).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = −15 и t = 16 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 1 — выколота. Расставляем знаки на оси. Условие замены t = 2ˣ > 0 отсекает корень t = −15 и всю отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ [16; +∞).

Пробная точка t = 2 на интервале (1; 16): (2 − 16)(2 + 15)/(2 − 1) = (−14)(17)/1 < 0 → знак «−».

шаг 5.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ < 1.