Задача 10150760 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{4^{x^{2}} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль. Так как 4ˣ² = (2ˣ²)², знаменатель сворачивается в полный квадрат 4ˣ² − 8·2ˣ² + 16 = (2ˣ² − 4)², поэтому достаточно потребовать 2ˣ² ≠ 4 = 2². Функция 2ᵗ строго возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей, и условие 2ˣ² ≠ 2² переходит в x² ≠ 2.

ОДЗ

4^{x^{2}} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16 \neq 0

{(2^{x^{2}})}^{2} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16 \neq 0

{(2^{x^{2}} - 4)}^{2} \neq 0

2^{x^{2}} \neq 4

2^{x^{2}} \neq 2^{2}

x^{2} \neq 2

x \neq \pm \sqrt{2}

шаг 2.Раскладываем на множители

Числитель раскладываем группировкой; знаменатель уже свёрнут в полный квадрат (2ˣ² − 4)².

x^{3} + x^{2} - x - 1 = x^{2} (x + 1) - (x + 1) =

= (x + 1) (x^{2} - 1) = (x - 1) {(x + 1)}^{2}

\frac{(x - 1) {(x + 1)}^{2}}{{(2^{x^{2}} - 4)}^{2}} \geq 0

Группировка: x³ + x² = x²(x + 1), −x − 1 = −(x + 1) — общий множитель (x + 1); затем x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

шаг 3.Метод интервалов в x

Числитель (x − 1)(x + 1)² — многочлен, знаменатель (2ˣ² − 4)² — квадрат разности степеней одного основания (2ˣ² − 2²); к дроби применим метод интервалов.

Знаменатель (2ˣ² − 4)² > 0 — знак дроби равен знаку числителя (x − 1)(x + 1)². Корень x = −1 чётной кратности — петелька (закрашена изолированной точкой); x = 1 — закрашен (нестрогое ≥). Точки x = ±√2 — выколоты по ОДЗ.

Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 + 1)²/(2⁰ − 4)² = (−1)/9 < 0 → знак «−». Через петельки при x = −1 и x = √2 знак не меняется.

ответ

x \in {- 1} \cup [1; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; + \infty)