условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль. Так как 64ˣ² = (8ˣ²)², знаменатель сворачивается в полный квадрат 64ˣ² − 4·8ˣ² + 4 = (8ˣ² − 2)², поэтому достаточно потребовать 8ˣ² ≠ 2. Записываем 8 = 2³: условие 2³ˣ² ≠ 2¹Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
переходит в 3x² ≠ 1, то есть x ≠ ±√3/3.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
ОДЗ
шаг 2.Раскладываем на множители
Числитель раскладываем группировкой; знаменатель уже свёрнут в полный квадрат (8ˣ² − 2)².
Группировка: 27x³ + 9x² = 9x²(3x + 1), −3x − 1 = −(3x + 1) — общий множитель (3x + 1); затем 9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1).
шаг 3.Метод интервалов в x
Числитель (3x + 1)²(3x − 1) — многочлен, знаменатель (8ˣ² − 2)² — квадрат разности степеней одного основания (8ˣ² − 2 = 2³ˣ² − 2); к дроби применим метод интерваловКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0..
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
Знаменатель (8ˣ² − 2)² > 0 — знак дроби равен знаку числителя (3x + 1)²(3x − 1). Корень x = −1/3 чётной кратности — петелька (закрашена изолированной точкой); x = 1/3 — закрашен (нестрогое ≥). Точки x = ±√3/3 — выколоты по ОДЗ.
Пробная точка x = 0: (0 + 1)²(0 − 1)/(8⁰ − 2)² = 1·(−1)/1 = −1 < 0 → знак «−». Через петельки x = −1/3 и x = ±√3/3 знак не меняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.