шаг 1.Готовим к замене

Показательная функция определена при всех x, ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем степени так, чтобы получить квадратный трёхчлен относительно 4ˣ. Замечаем, что 16 = 4², поэтому 16ˣ = (4ˣ)².

16^(1/4) = (2⁴)^(1/4) = 2; 4^(1/2) = √4 = 2.

шаг 2.Делаем замену

Положим t = 4ˣ. Подставляем и умножаем обе части на 2, чтобы убрать знаменатель.

Умножаем на положительное число 2 — знак неравенства сохраняется.

шаг 3.Раскладываем трёхчлен

Находим корни через дискриминант и записываем разложение на множители.

Меньший корень 1/4 = 0,25 пишем десятичным.

шаг 4.Метод интервалов в t

На оси «неравенство» корни t = 0,25 и t = 2 закрашенные (нестрогое ≥ 0). Ветви параболы (t − 0,25)(t − 2) вверх, выражение положительно вне корней. На оси «ОДЗ» отмечаем условие t > 0 из замены — оно отсекает левую часть «неравенства». В «пересечении» — итог.

Пробная точка t = 1 на интервале (0,25; 2): подставляем в (t − 0,25)(t − 2) и получаем (1 − 0,25)(1 − 2) = 0,75·(−1) = −0,75 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+». Из них условие t > 0 оставляет (0; 0,25] и [2; +∞).

шаг 5.Обратная замена

Случай 1 в полной записи — 0 < 4ˣ ≤ 1/4. Левую часть «4ˣ > 0» не пишем отдельно: показательная функция строго положительна на всей числовой прямой, и неравенство выполнено при любом x — никакого ограничения на x оно не накладывает. Поэтому оставляем только верхнюю границу 4ˣ ≤ 1/4.