условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Третий знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 5ˣ, раскладываем его на множители и видим те же ограничения.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 5ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
шаг 3.Сводим к одной дроби
2t² − 4t + 2 = 2(t² − 2t + 1) = 2(t − 1)².
шаг 4.Метод интервалов в t
Числитель 2(t − 1)² ≥ 0. Корень t = 1 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≤, даёт изолированную точку). Точки разрыва знаменателя: t = 4, t = 5 — выколоты.
Пробная точка t = 2: 2(2 − 1)²/((2 − 4)(2 − 5)) = 2/6 > 0 → знак «+». Через петельку при t = 1 знак не меняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя t = 5ˣ. Основание степени 5 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₅4 ≈ 0,86. Точка x = 0 — изолированное решение (петелька при t = 1).