Задача 10150649 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2 \cdot 3^{2 x + 1} - 7 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 4^{x}}{3 \cdot 9^{x} - 3^{x} \cdot 2^{x + 1}} \leq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не обращается в нуль. Выносим множитель 3ˣ > 0 (3·9ˣ = 3ˣ·3·3ˣ, 3ˣ·2ˣ⁺¹ = 3ˣ·2·2ˣ), делим на 2ˣ и снимаем основание степени (3/2).

ОДЗ

3 \cdot 9^{x} - 3^{x} \cdot 2^{x + 1} \neq 0

3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} - 3^{x} \cdot 2 \cdot 2^{x} \neq 0

3^{x} (3 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 2^{x}) \neq 0

3 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 2^{x} \neq 0

{(\frac{3}{2})}^{x} \neq \frac{2}{3}

{(\frac{3}{2})}^{x} \neq {(\frac{3}{2})}^{- 1}

x \neq - 1

Выносим 3ˣ: 3·9ˣ − 3ˣ·2ˣ⁺¹ = 3ˣ(3·3ˣ − 2·2ˣ); делим на 2ˣ: 3·(3/2)ˣ − 2 ≠ 0 → (3/2)ˣ ≠ 2/3. Так как 2/3 = (3/2)⁻¹, получаем x ≠ −1.

шаг 2.Делаем замену

Все слагаемые однородны степени 2 по 3ˣ и 2ˣ. Приводим к 9ˣ, 6ˣ, 4ˣ, делим числитель и знаменатель на 4ˣ > 0 и вводим u = (3/2)ˣ, u > 0.

2 \cdot 3^{2 x + 1} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{2 x} = 6 \cdot 9^{x}

3^{x} \cdot 2^{x + 1} = 3^{x} \cdot 2 \cdot 2^{x} = 2 \cdot 6^{x}

\frac{6 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 4^{x}}{3 \cdot 9^{x} - 2 \cdot 6^{x}} \leq 1

u = {(\frac{3}{2})}^{x}, u > 0

\frac{9^{x}}{4^{x}} = {(\frac{9}{4})}^{x} = {(\frac{3}{2})}^{2 x} = u^{2}

\frac{6^{x}}{4^{x}} = {(\frac{6}{4})}^{x} = {(\frac{3}{2})}^{x} = u

\frac{4^{x}}{4^{x}} = 1

\frac{6 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 4^{x}}{4^{x}} = 6 u^{2} - 7 u + 2

\frac{3 \cdot 9^{x} - 2 \cdot 6^{x}}{4^{x}} = 3 u^{2} - 2 u

\frac{6 u^{2} - 7 u + 2}{3 u^{2} - 2 u} \leq 1

\frac{(3 u - 2) (2 u - 1)}{u (3 u - 2)} \leq 1

Числитель 6u² − 7u + 2 = (3u − 2)(2u − 1); знаменатель 3u² − 2u = u(3u − 2). Общий множитель (3u − 2) сократится дальше.

шаг 3.Сокращаем и сводим к дроби

Множитель (3u − 2) сокращается; u = 2/3 (x = −1) исключено ОДЗ.

\frac{2 u - 1}{u} \leq 1

\frac{2 u - 1}{u} - 1 \leq 0

\frac{u - 1}{u} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов в u

Корень числителя: u = 1 — закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя: u = 0 — выколота. Точка u = 2/3 выколота по ОДЗ (сокращённый множитель). Отрицательная полуось u < 0 знаком «+» в решение не входит, поэтому условие u > 0 ничего не отсекает.

Пробная точка u = 1/2: (1/2 − 1)/(1/2) = −1 < 0 → знак «−». Через выколотую u = 2/3 знак не меняется; через точку разрыва u = 0 знак меняется на «+».

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя u = (3/2)ˣ. Основание степени 3/2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка u = 2/3 (x = −1) выколота.

Условие u > 0 из замены отдельно не проверяем: u = (3/2)ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница u > 0 в случае 1 выполняется автоматически — остаётся только (3/2)ˣ < 2/3.

1) 0 < {(\frac{3}{2})}^{x} < \frac{2}{3}

{(\frac{3}{2})}^{x} < {(\frac{3}{2})}^{- 1}

x < - 1

2) \frac{2}{3} < {(\frac{3}{2})}^{x} \leq 1

{(\frac{3}{2})}^{- 1} < {(\frac{3}{2})}^{x} \leq {(\frac{3}{2})}^{0}

- 1 < x \leq 0

2/3 = (3/2)⁻¹, 1 = (3/2)⁰; основание 3/2 > 1 возрастает, поэтому сравниваем показатели: случай 1 даёт x < −1, случай 2 даёт −1 < x ≤ 0.

ответ

x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0]