условие
шаг 1.Готовим к замене
Показательная функция определена при всех x, ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем степени так, чтобы выделить общий множитель 2ˣ и получить квадратный трёхчлен относительно него.
По свойствам показательной функции 2ᵃ⁺ᵇ = 2ᵃ · 2ᵇ и 2ᵃ/2ᵇ = 2ᵃ⁻ᵇ — показатели степени при умножении складываются, при делении вычитаются.
шаг 2.Делаем замену
Положим t = 2ˣ. Получается квадратный трёхчлен относительно t — выносим общий множитель 1/2 за скобку, чтобы привести коэффициенты к целым.
шаг 3.Раскладываем трёхчлен
Находим корни 40t² − 21t + 2 = 0 через дискриминант и записываем разложение.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = 1/8 и t = 2/5 — закрашены (нестрогое ≤). Условие замены t > 0 уже выполнено — оба корня положительны.
Пробная точка t = 0,2 на интервале (1/8; 2/5): подставляем в 20(t − 1/8)(t − 2/5) и получаем 20·(0,2 − 0,125)(0,2 − 0,4) = 20·0,075·(−0,2) = −0,3 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Решением ≤ 0 будет интервал со знаком «−».
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Нижняя граница 1/8 = 2⁻³ — показатель степени получается ровно −3. Число 2/5 не является степенью двойки, поэтому верхнюю границу пишем через логарифм и раскладываем log₂(2/5) = log₂2 − log₂5 = 1 − log₂5.