Задача 10150582 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{x + 1} + {0,5}^{x - 3} \geq 17

ОДЗ — вся числовая прямая. 2^(x+1) = 2·2ˣ, 0,5^(x−3) = 2^(3−x) = 8/2ˣ. Замена t = 2ˣ.

2^{x + 1} = 2^{x} \cdot 2 = 2 \cdot 2^{x}

{0,5}^{x - 3} = \frac{1}{2^{x - 3}} = \frac{2^{3}}{2^{x}} = \frac{8}{2^{x}}

2 \cdot 2^{x} + \frac{8}{2^{x}} \geq 17

t = 2^{x}, t > 0

2 t + \frac{8}{t} \geq 17

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю t.

\frac{2 t^{2} - 17 t + 8}{t} \geq 0

\frac{2 (t - \frac{1}{2}) (t - 8)}{t} \geq 0

Виета: для 2t² − 17t + 8 сумма корней 17/2, произведение 4. У нас 1/2 + 8 = 17/2 и (1/2)·8 = 4 — оба сходятся.

Корни числителя: t = 1/2 и t = 8 — закрашены. Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота. Условие t > 0 отсекает (−∞; 0).

Пробная точка t = 1 на (1/2; 8): 2(1 − 1/2)(1 − 8)/1 = 2·(1/2)·(−7) = −7 < 0, значит знак «−».

0 < 2ˣ ≤ 1/2 или 2ˣ ≥ 8. Основание степени 2 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется. Условие 2ˣ > 0 выполнено автоматически.

\begin{matrix} t \in (0; \frac{1}{2}] & t \in [8; + \infty) \\ 2^{x} \leq \frac{1}{2} = 2^{- 1} & 2^{x} \geq 8 = 2^{3} \\ x \leq - 1 & x \geq 3 \end{matrix}

Обе границы — степени двойки: 1/2 = 2⁻¹, 8 = 2³.

x \in (- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)