шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель 2ˣ − 1 не обращается в нуль (4ˣ + 2ˣ + 1 > 0 всегда).

1 = 2⁰, поэтому 2ˣ = 1 даёт x = 0.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2ˣ, t > 0. Числитель первой дроби 8ˣ − 1 = t³ − 1 раскладываем; множитель (t − 1) сокращается (значение t = 1, x = 0 уже исключено ОДЗ).

t³ − 1 = (t − 1)(t² + t + 1); знаменатель t² + t + 1 > 0 всегда.

шаг 3.Вторая замена

Обозначим w = t² + t + 1 (w > 0) — замена упрощает неравенство до квадратного. Домножаем на w > 0 и решаем методом интервалов: парабола ветвями вверх, между корнями ≤ 0.

3w² − 19w + 20: D = 361 − 240 = 121, корни (19 ± 11)/6 = 5 и 4/3.

шаг 4.Возврат к t

Двойное неравенство 4/3 ≤ t² + t + 1 ≤ 5 распадается на два. Каждое решаем методом интервалов (парабола ветвями вверх): 3t² + 3t − 1 ≥ 0 — вне корней (−3∓√21)/6; t² + t − 4 ≤ 0 — между корнями (−1∓√17)/2. Условие t > 0 отбрасывает отрицательные части; пересечение даёт промежуток для t.

Берём только положительные корни (по t > 0): отрицательные (−3−√21)/6 и (−1−√17)/2 отброшены.

шаг 5.Обратная замена

(√21 − 3)/6 ≈ 0,26 < 1 < (√17 − 1)/2 ≈ 1,56, поэтому x = 0 выкалывается.