условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба знаменателя — суммы положительных слагаемых (3ˣ > 0 и 3⁻ˣ > 0 при любом x), поэтому в ноль не обращаются: ОДЗ — вся числовая прямая.
шаг 2.Делаем замену
Вводим t = 3ˣ (t > 0, 3⁻ˣ = 1/t). Переписываем каждую дробь через t: числитель и знаменатель первой сворачиваются в полные квадраты.
шаг 3.Вторая замена
Обозначим v = (t − 1)/(t + 1); тогда дробь в квадрате равна v².
10v² − 3v − 4: D = 9 + 160 = 169, корни (3 ± 13)/20 = 4/5 и −1/2.
шаг 4.Метод интервалов в v
Корни v = −1/2 и v = 4/5 — оба закрашены (нестрогое ≤). Парабола (5v − 4)(2v + 1) ветвями вверх (старший коэффициент 10 > 0), поэтому выражение ≤ 0 между корнями: −1/2 ≤ v ≤ 4/5.
Пробная точка v = 0 ∈ (−1/2; 4/5): (5·0 − 4)(2·0 + 1) = (−4)·1 = −4 < 0 — между корнями выражение отрицательно, что и нужно для ≤ 0.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к t = 3ˣ. Двойное неравенство −1/2 ≤ (t − 1)/(t + 1) ≤ 4/5 — это система: оба условия выполняются одновременно (знаменатель t + 1 > 0). Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).