условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
ОДЗ
Знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 3ˣ: так как 9ˣ = (3ˣ)², получаем (3ˣ)² − 12·3ˣ + 27. По теореме Виета (сумма корней 12, произведение 27) корни равны 3 и 9, поэтому трёхчлен раскладывается на скобки (3ˣ − 3)(3ˣ − 9).
шаг 2.Делаем замену
Показательная функция положительна, поэтому t > 0.
шаг 3.Сводим к одной дроби
шаг 4.Метод интервалов в t
Корень числителя: t = 1 — чётной кратности 2 (квадрат), поэтому ставим петельку: знак через точку не меняется. Неравенство нестрогое (≥), и числитель при t = 1 обнуляется, поэтому точка закрашена и входит в ответ изолированной точкой. Точки разрыва знаменателя: 3 и 9 — выколоты.
Пробная точка t = 5 на (3; 9): −(5 − 1)²/(2(5 − 3)(5 − 9)) = −16/(−16) = 1 > 0 → знак «+».
Через петельку t = 1 знак не меняется (чётная кратность); вне (3; 9) и точки t = 1 дробь отрицательна. Все корни положительны — условие t > 0 выполняется само.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).