Задача 10150630 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{x} + \frac{2 \cdot 3^{x + 1}}{3^{x} - 3} + \frac{9^{x} + 26 \cdot 3^{x} + 21}{9^{x} - 4 \cdot 3^{x + 1} + 27} \leq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Второй знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 3ˣ: раскладываем (3ˣ)² − 12·3ˣ + 27 = (3ˣ − 3)(3ˣ − 9).

ОДЗ

3^{x} - 3 \neq 0

3^{x} \neq 3

x \neq 1

9^{x} - 4 \cdot 3^{x + 1} + 27 \neq 0

{(3^{x})}^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 27 \neq 0

(3^{x} - 3) (3^{x} - 9) \neq 0

3^{x} \neq 3, 3^{x} \neq 9

x \neq 1, x \neq 2

3 = 3¹, поэтому 3ˣ = 3 даёт x = 1; 9 = 3², поэтому 3ˣ = 9 даёт x = 2.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = {(3^{x})}^{2} = t^{2}, 2 \cdot 3^{x + 1} = 6 t

9^{x} - 4 \cdot 3^{x + 1} + 27 = t^{2} - 12 t + 27 = (t - 3) (t - 9)

t + \frac{6 t}{t - 3} + \frac{t^{2} + 26 t + 21}{(t - 3) (t - 9)} \leq 1

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{t (t - 3) (t - 9) + 6 t (t - 9) + t^{2} + 26 t + 21 - (t - 3) (t - 9)}{(t - 3) (t - 9)} \leq 0

\frac{t^{3} - 6 t^{2} + 11 t - 6}{(t - 3) (t - 9)} \leq 0

t^{3} - 6 t^{2} + 11 t - 6 =

= t^{3} - t^{2} - 5 t^{2} + 5 t + 6 t - 6 =

= t^{2} (t - 1) - 5 t (t - 1) + 6 (t - 1) =

= (t - 1) (t^{2} - 5 t + 6) =

= (t - 1) (t - 2) (t - 3)

\frac{(t - 1) (t - 2) (t - 3)}{(t - 3) (t - 9)} \leq 0

Группировка: −6t² = −t² − 5t², 11t = 5t + 6t — в трёх группах выносится (t − 1); квадрат t² − 5t + 6 = (t − 2)(t − 3) по Виета.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя t = 1, t = 2 — закрашены (нестрогое ≤). Общий ноль t = 3 — петелька (выколота по ОДЗ, знак не меняется). Разрыв t = 9 — выколот. Условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось.

\frac{(t - 1) (t - 2) (t - 3)}{(t - 3) (t - 9)} \leq 0

Пробная точка t = 0,5: числитель (0,5 − 1)(0,5 − 2)(0,5 − 3) < 0, знаменатель (0,5 − 3)(0,5 − 9) > 0 → дробь < 0, знак «−». Через общий ноль t = 3 (суммарная кратность 2) знак не меняется — петелька.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 3 (x = 1) выколота.

Условие t > 0 не проверяем: t = 3ˣ > 0 при любом x. Три промежутка по t дают три случая по x; выколотая t = 3 — это x = 1 между случаями 2 и 3.

1) 0 < 3^{x} \leq 1

3^{x} \leq 3^{0}

x \leq 0

2) 2 \leq 3^{x} < 3

\log_{3} 2 \leq x < 1

3) 3 < 3^{x} < 9

3^{1} < 3^{x} < 3^{2}

1 < x < 2

log₃2 ≈ 0,63.

ответ

x \in (- \infty; 0] \cup [\log_{3} 2; 1) \cup (1; 2)

$2^{x} + \frac{2^{x + 2}}{2^{x} - 4} + \frac{4^{x} + 7 \cdot 2^{x} + 20}{4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 2} + 32} \leq 1$