условие
шаг 1.Делаем замену
ОДЗ — вся числовая прямая. 2^(4−x) = 16/2ˣ, делаем замену t = 2ˣ.
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю t. Замечаем 1280 = 5·256 и 261 = 5 + 256 (256 = 2⁸ — родственно нашей замене t = 2ˣ): раскладываем средний член и группируем.
Виета: для t² − 261t + 1280 сумма 261, произведение 1280. У нас 5 + 256 = 261 и 5·256 = 1280 — оба сходятся.
шаг 3.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = 5 и t = 256 — закрашены (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота. Условие t > 0 отсекает (−∞; 0).
Пробная точка t = 10 на (5; 256): (10 − 5)(10 − 256)/10 = 5·(−246)/10 = −123 < 0, значит знак «−».
шаг 4.Обратная замена
5 ≤ 2ˣ ≤ 256. Основание степени 2 > 1, функция возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Верхняя граница 256 = 2⁸; нижняя — log₂5 (пятёрка не степень двойки).