Задача 10150606 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{3 - 4^{x}}{2 - 2^{x}} \geq \frac{3}{2}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

2 - 2^{x} \neq 0

2^{x} \neq 2

x \neq 1

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}

\frac{3 - t^{2}}{2 - t} \geq \frac{3}{2}

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 3/2 влево и приводим к общему знаменателю.

\frac{2 (3 - t^{2}) - 3 (2 - t)}{2 (2 - t)} \geq 0

\frac{6 - 2 t^{2} - 6 + 3 t}{2 (2 - t)} \geq 0

\frac{- 2 t^{2} + 3 t}{2 (2 - t)} \geq 0

\frac{t (3 - 2 t)}{2 (2 - t)} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя t = 0 и t = 3/2 — закрашены (нестрогое ≥), точка разрыва знаменателя t = 2 — выколота.

\frac{t (3 - 2 t)}{2 (2 - t)} \geq 0

Пробная точка t = 1: (1)(3 − 2)/(2(2 − 1)) = 1/2 > 0 → знак «+» на (0; 3/2).

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала выполняется автоматически.

1) 2^{x} \leq \frac{3}{2}

x \leq \log_{2} \frac{3}{2}

2) 2^{x} > 2

x > 1

log₂(3/2) = log₂3 − 1 ≈ 0,58.

ответ

x \in (- \infty; \log_{2} \frac{3}{2}] \cup (1; + \infty)