условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
ОДЗ
1/8 = 2⁻³, поэтому 2ˣ = 1/8 даёт x = −3.
шаг 2.Делаем замену
Вводим показательную функцию как новую переменную; она положительна, поэтому a > 0.
шаг 3.Сводим к одной дроби
a(32a² − 1) − a(8a − 1) = a(32a² − 8a) = 8a²(4a − 1).
шаг 4.Метод интервалов в a
Корень a² = 0 чётной кратности: на a = 0 ставим петельку, знак через неё не меняется. Корень числителя a = 1/4 — закрашен (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя a = 1/8 — выколота. Условие замены a > 0 отсекает a ≤ 0 — после пересечения остаётся (0; 1/8) ∪ [1/4; +∞).
Пробная точка a = 1/5: 8·(1/5)²·(4/5 − 1)/(8/5 − 1) = (8/25)·(−1/5)/(3/5) < 0 → знак «−». Через петельку a = 0 знак не меняется (a² — чётная кратность).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя a = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие a > 0 из замены отдельно не проверяем: a = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница a > 0 первого интервала (0; 1/8) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ < 1/8.