Задача 10150548 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

25^{x} + 3 \cdot 10^{x} - 4 \cdot 4^{x} > 0

шаг 1.Готовим к замене

ОДЗ — вся числовая прямая. 25ˣ = (5ˣ)², 10ˣ = 5ˣ·2ˣ, 4ˣ = (2ˣ)² — выражение однородное по 5ˣ и 2ˣ. Делим обе части на 4ˣ = (2ˣ)² > 0 (положительное, знак сохраняется) и переходим к замене t = (5/2)ˣ.

25^{x} = {(5^{x})}^{2}, 10^{x} = 5^{x} \cdot 2^{x}, 4^{x} = {(2^{x})}^{2}

{(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} \cdot 2^{x} - 4 \cdot {(2^{x})}^{2} > 0

{(\frac{5^{x}}{2^{x}})}^{2} + 3 \cdot \frac{5^{x}}{2^{x}} - 4 > 0

{({(\frac{5}{2})}^{x})}^{2} + 3 \cdot {(\frac{5}{2})}^{x} - 4 > 0

t = {(\frac{5}{2})}^{x}, t > 0

t^{2} + 3 t - 4 > 0

(t - 1) (t + 4) > 0

Виета: для t² + 3t − 4 сумма −3, произведение −4. У нас 1 + (−4) = −3 и 1·(−4) = −4 — оба сходятся.

шаг 2.Метод интервалов в t

Корни: t = −4 и t = 1 — выколоты (строгое >). Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].

Пробная точка t = 0 на (−4; 1): (0 − 1)(0 + 4) = −4 < 0, значит знак «−».

шаг 3.Обратная замена

Из пересечения: (5/2)ˣ > 1. Основание степени 5/2 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

{(\frac{5}{2})}^{x} > 1

{(\frac{5}{2})}^{x} > {(\frac{5}{2})}^{0}

x > 0

1 = (5/2)⁰ — показатель степени получается ровно 0.

ответ

x \in (0; + \infty)