условие
шаг 1.Делаем замену
ОДЗ — вся числовая прямая. 9ˣ = (3ˣ)². Замена t = 3ˣ.
шаг 2.Раскладываем трёхчлен
Находим корни через дискриминант. Корень дискриминанта подбираем сравнением квадратов: 26² = 676.
Виета: для 3t² − 28t + 9 сумма корней 28/3, произведение 3. У нас 1/3 + 9 = 28/3 и (1/3)·9 = 3 — оба сходятся.
шаг 3.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = 1/3 и t = 9 — закрашены. Условие t > 0 уже выполнено — оба корня положительны.
Пробная точка t = 1 на (1/3; 9): 3(1 − 1/3)(1 − 9) = 3·(2/3)·(−8) = −16 < 0, значит знак «−».
шаг 4.Обратная замена
1/3 ≤ 3ˣ ≤ 9. Основание степени 3 > 1, функция возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Обе границы — степени тройки: 1/3 = 3⁻¹, 9 = 3².