условие
шаг 1.Область допустимых значений
Подкоренное выражение внутреннего корня неотрицательно.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Пусть w = 3^{√(2−x)}; так как √(2 − x) ≥ 0, имеем w ≥ 1. Внешний корень определён при (3 − w)(w + 1) ≥ 0, то есть при w ≤ 3.
шаг 3.Два случая
Сравниваем неотрицательный корень с 4 − 2w.
5w² − 18w + 13: D = 324 − 260 = 64, корни (18 ± 8)/10 = 13/5 и 1.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем w = 3^{√(2−x)}. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
0 < √(2 − x) ≤ 1 ⟺ 0 < 2 − x ≤ 1 ⟺ 1 ≤ x < 2.