Задача 10150641 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не обращается в нуль.

ОДЗ

4^{x} - 64 \neq 0

{(2^{x})}^{2} - 64 \neq 0

(2^{x} - 8) (2^{x} + 8) \neq 0

{\begin{matrix} 2^{x} \neq 8 \\ 2^{x} + 8 > 0 \end{matrix}

x \neq 3

Произведение (2ˣ − 8)(2ˣ + 8) равно нулю, только если хотя бы один множитель нуль. Но 2ˣ + 8 > 0 при любом x (2ˣ > 0, плюс 8), поэтому он в нуль не обращается — ограничение даёт лишь 2ˣ = 8, откуда x = 3.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0; тогда и t + 8 > 0 (понадобится в методе интервалов).

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}

2^{x + 4} = 2^{4} \cdot 2^{x} = 16 t

4^{x} - 64 = t^{2} - 64 = (t - 8) (t + 8)

\frac{t + 8}{t - 8} + \frac{t - 8}{t + 8} \geq \frac{16 t + 96}{(t - 8) (t + 8)}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{{(t + 8)}^{2} + {(t - 8)}^{2} - (16 t + 96)}{(t - 8) (t + 8)} \geq 0

\frac{2 t^{2} - 16 t + 32}{(t - 8) (t + 8)} \geq 0

\frac{2 {(t - 4)}^{2}}{(t - 8) (t + 8)} \geq 0

(t + 8)² + (t − 8)² = 2t² + 128; вычитаем 16t + 96 → 2t² − 16t + 32 = 2(t − 4)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя t = 4 чётной кратности — петелька (знак через точку не меняется), закрашен (нестрогое ≥) и даёт изолированную точку. Точки разрыва знаменателя t = −8 и t = 8 — выколоты. На (−∞; −8) дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает всю область t < 0 (вместе с корнем t = −8) — после пересечения остаётся {4} ∪ (8; +∞).

\frac{2 {(t - 4)}^{2}}{(t - 8) (t + 8)} \geq 0

Пробная точка t = 5 на (4; 8): 2(5 − 4)²/((5 − 8)(5 + 8)) = 2/(−39) < 0 → знак «−». Через петельку при t = 4 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 2^{x} = 4

2^{x} = 2^{2}

x = 2

2) 2^{x} > 8

2^{x} > 2^{3}

x > 3

Границы — степени двойки: 4 = 2², 8 = 2³; основание 2 > 1, поэтому переходим к показателям. Точка x = 2 — изолированное решение (петелька при t = 4).

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сводим к одной дроби

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ