условие
шаг 1.Группировка
ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем составные основания и выносим общие множители.
14ˣ = 2ˣ·7ˣ и 8ˣ = 2³ˣ → общий множитель 2ˣ. Общая скобка (7ˣ − 3).
шаг 2.Находим корни
2ˣ > 0 всегда — на знак не влияет. Оба оставшихся множителя — разности степеней,Когда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0. приравниваем каждый к нулю.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
7ˣ − 4ˣ = 0 ⟺ 7ˣ = 4ˣ ⟺ (7/4)ˣ = 1 — делим обе части на 4ˣ > 0. log₇ 3 ≈ 0,564.
шаг 3.Метод интервалов
Оба корня нечётной кратности. Основания > 1, возрастаютПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знаки чередуются.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Пробная x = −1: (4/7 − 1)(1/7 − 3) = (−3/7)(−20/7) > 0, знак «+».