Задача 10150512 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Делаем замену

Показательная функция определена при всех x, ОДЗ — вся числовая прямая. Замечаем, что (1/5)ˣ = 5⁻ˣ, и делаем стандартную замену.

{(\frac{1}{5})}^{x} = 5^{- x} = \frac{1}{5^{x}}

t = 5^{x}, t > 0

t + \frac{1}{t} > 2

Показательная функция 5ˣ строго положительна, поэтому замена сразу даёт ограничение t > 0.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё в одну сторону и приводим к общему знаменателю t. В числителе сворачивается полный квадрат t² − 2t + 1 = (t − 1)².

t + \frac{1}{t} - 2 > 0

\frac{t^{2} - 2 t + 1}{t} > 0

\frac{{(t - 1)}^{2}}{t} > 0

Полный квадрат: t² − 2t + 1 = (t − 1)² (формула a² − 2ab + b² = (a − b)²).

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется; выколота по знаку >). Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота.

Пробная точка t = 2 на интервале (1; +∞): (2 − 1)²/2 = 1/2 > 0, знак «+». На (0; 1) знак тот же — через петельку в t = 1 знак не меняется (это (t − 1)² чётной кратности). Через выколотую t = 0 знак чередуется, на (−∞; 0) получаем «−». Решением > 0 будут интервалы со знаком «+»: t ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) — оно автоматически лежит в t > 0 из замены.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем t = 5ˣ в каждый случай отдельно. Основание степени 5 > 1, функция возрастает, — знак неравенства сохраняется.

Нижнюю границу 5ˣ > 0 в случае (0; 1) опускаем: она верна для любого x, реально работает только сравнение с 1 = 5⁰. Случаи связаны через ИЛИ — на нижней оси объединяем.

t \in (0; 1) : 0 < 5^{x} < 1

5^{x} < 1 (1 = 5^{0})

x < 0

t \in (1; + \infty) : 5^{x} > 1

5^{x} > 1 (1 = 5^{0})

x > 0

Выколотая x = 0 в обоих случаях — след петельки t = 1 после обратной замены.

условие

шаг 1.Делаем замену

шаг 2.Сводим к одной дроби

шаг 3.Метод интервалов в t

шаг 4.Обратная замена

ответ