шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Ни 5, ни 7 не являются степенью шестёрки, поэтому 6ˣ = 5 и 6ˣ = 7 решаются логарифмом: x = log₆5 и x = log₆7 — оба корня логарифмом.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 6ˣ⁺¹ = 6ˣ · 6 = 6t. Также 36ˣ = (6ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим t + 5 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 5)(t − 7): первую дробь домножаем на (t − 7), вторую — на (t − 5), а t + 5 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

Поразрядно: t³ → 1 − 1 = 0; t² → −13 + 6 + 7 = 0; t → 45 − 69 + 25 = 1; свободный → −21 + 195 − 175 = −1.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 1 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 5 и 7 — выколоты. На (−∞; 1) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1] ∪ (5; 7).

Пробная точка t = 2: (2 − 1)/((2 − 5)(2 − 7)) = 1/15 > 0 → знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 6ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 6ˣ ≤ 1.

log₆5 ≈ 0,90; log₆7 ≈ 1,09.