шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Единица — нулевая степень пятёрки: 5ˣ = 1 = 5⁰ даёт x = 0 (приводим к одному основанию). Семёрка степенью пятёрки не является, поэтому 5ˣ = 7 решается логарифмом: x = log₅7.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 5ˣ⁺² = 5ˣ · 5², поэтому 5ˣ⁺² = 25 · 5ˣ = 25t. Также 25ˣ = (5ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 2t − 24 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 1)(t − 7): первую дробь домножаем на (t − 7), вторую — на (t − 1), а 2t − 24 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

Поразрядно: t³ → 1 + 1 − 2 = 0; t² → −32 − 8 + 40 = 0; t → 201 + 8 − 206 = 3; свободный → −182 − 1 + 168 = −15.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 5 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 1 и 7 — выколоты. На (−∞; 1) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ [5; 7).

Пробная точка t = 6: 3(6 − 5)/((6 − 1)(6 − 7)) = 3/(−5) < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 5ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 5ˣ < 1.

log₅7 ≈ 1,21.