Задача 10150514 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Приводим к степеням с основанием 2

Показательная функция определена при всех x, ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем каждое слагаемое в виде произведения степеней двойки.

2^{2 x + 4} = 2^{4} \cdot {(2^{x})}^{2}

16 \cdot 2^{x + 3} = 2^{4} \cdot 2^{3} \cdot 2^{x} = 2^{7} \cdot 2^{x}

2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}

16 = 2^{4}

2^{4} \cdot {(2^{x})}^{2} - 2^{7} \cdot 2^{x} - 2 \cdot 2^{x} + 2^{4} \leq 0

По свойствам показательной функции 2ᵃ⁺ᵇ = 2ᵃ · 2ᵇ.

шаг 2.Группируем и выносим общую скобку

Группируем первое слагаемое с третьим (общий множитель 2·2ˣ) и второе с четвёртым (общий множитель 2⁴). В обеих парах после выноса остаётся одинаковая скобка (2³·2ˣ − 1) — выносим её за общую скобку.

(2^{4} \cdot (2^{x})^{2} - 2 \cdot 2^{x}) - (2^{7} \cdot 2^{x} - 2^{4}) \leq 0

2 \cdot 2^{x} (2^{3} \cdot 2^{x} - 1) - 2^{4} (2^{3} \cdot 2^{x} - 1) \leq 0

(2^{3} \cdot 2^{x} - 1) (2 \cdot 2^{x} - 2^{4}) \leq 0

шаг 3.Делаем замену

Положим t = 2ˣ. Тогда 2³·2ˣ = 8t, 2·2ˣ = 2t, 2⁴ = 16 — каждый множитель становится линейным по t. Корни читаются прямо из множителей, дискриминант не нужен. Основание степени 2 > 1, функция 2ʸ возрастает, что обеспечивает однозначность корня у каждого множителя.

t = 2^{x}, t > 0

(8 t - 1) (2 t - 16) \leq 0

8 (t - \frac{1}{8}) \cdot 2 (t - 8) \leq 0

16 (t - \frac{1}{8}) (t - 8) \leq 0

Корни напрямую: 8t − 1 = 0 ⟹ t = 1/8; 2t − 16 = 0 ⟹ t = 8.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1/8 и t = 8 — закрашены (нестрогое ≤). Условие замены t > 0 уже выполнено — оба корня положительны.

Пробная точка t = 1 на интервале (1/8; 8): подставляем в 16(t − 1/8)(t − 8) и получаем 16·(1 − 1/8)(1 − 8) = 16·(7/8)·(−7) = 14·(−7) = −98 < 0, значит знак «−».

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ — получаем двойное неравенство 1/8 ≤ 2ˣ ≤ 8. Основание степени 2 > 1, функция возрастает, — снимаем основание степени со всех частей сразу, знак сохраняется.

\frac{1}{8} \leq 2^{x} \leq 8

2^{- 3} \leq 2^{x} \leq 2^{3}

- 3 \leq x \leq 3

Обе границы — степени двойки (1/8 = 2⁻³, 8 = 2³), поэтому показатели степени получаются целыми −3 и 3.

условие

шаг 1.Приводим к степеням с основанием 2

шаг 2.Группируем и выносим общую скобку

шаг 3.Делаем замену

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ