Задача 10150549 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{x} + 10 \cdot 3^{3 - x} \geq 37

ОДЗ — вся числовая прямая. 3^(3−x) = 27/3ˣ. Замена t = 3ˣ.

3^{3 - x} = \frac{27}{3^{x}}

t = 3^{x}, t > 0

t + \frac{270}{t} \geq 37

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю t. Корень дискриминанта подбираем сравнением квадратов: 17² = 289.

\frac{t^{2} - 37 t + 270}{t} \geq 0

t^{2} - 37 t + 270 = 0

D = 37^{2} - 4 \cdot 270 = 1369 - 1080 = 289

t = \frac{37 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{37 \pm 17}{2} \begin{matrix} = 27 \\ = 10 \end{matrix}

\frac{(t - 10) (t - 27)}{t} \geq 0

Корни числителя: t = 10 и t = 27 — закрашены. Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота. Условие t > 0 отсекает (−∞; 0).

Пробная точка t = 1 на (0; 10): (1 − 10)(1 − 27)/1 = (−9)(−26) = 234 > 0, значит знак «+».

0 < 3ˣ ≤ 10 или 3ˣ ≥ 27. Основание степени 3 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется. Условие 3ˣ > 0 выполнено автоматически.

1) 3^{x} \leq 10

x \leq \log_{3} 10

2) 3^{x} \geq 27

3^{x} \geq 3^{3}

x \geq 3

27 = 3³ — целый показатель степени; 10 не степень тройки, оставляем log₃10. log₃10 ≈ 2,1 < 3, поэтому два луча разнесены.

x \in (- \infty; \log_{3} 10] \cup [3; + \infty)