Задача 10150531 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

11^{x + 1} + 3 \cdot 11^{- x} \leq 34

ОДЗ — вся числовая прямая. 11^(x+1) = 11·11ˣ, 11⁻ˣ = 1/11ˣ. Замена t = 11ˣ.

11^{x + 1} = 11 \cdot 11^{x}, 11^{- x} = \frac{1}{11^{x}}

t = 11^{x}, t > 0

11 t + \frac{3}{t} \leq 34

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю t. Корень дискриминанта подбираем сравнением квадратов: 32² = 1024.

\frac{11 t^{2} - 34 t + 3}{t} \leq 0

11 t^{2} - 34 t + 3 = 0

D = 34^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 3 = 1156 - 132 = 1024

t = \frac{34 \pm \sqrt{1024}}{22} = \frac{34 \pm 32}{22} \begin{matrix} = 3 \\ = \frac{1}{11} \end{matrix}

\frac{11 (t - \frac{1}{11}) (t - 3)}{t} \leq 0

Корни числителя: t = 1/11 и t = 3 — закрашены. Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота. Условие t > 0 отсекает (−∞; 0).

Пробная точка t = 1 на (1/11; 3): 11(1 − 1/11)(1 − 3)/1 = 11·(10/11)·(−2) = −20 < 0, значит знак «−».

1/11 ≤ 11ˣ ≤ 3. Основание степени 11 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

\frac{1}{11} \leq 11^{x} \leq 3

11^{- 1} \leq 11^{x} \leq 3

- 1 \leq x \leq \log_{11} 3

Нижняя граница 1/11 = 11⁻¹; верхняя — log₁₁3 (тройка не степень одиннадцати).

x \in [- 1; \log_{11} 3]