Задача 10150524 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

36^{x - \frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^{x - 1} + 1 \geq 0

шаг 1.Готовим к замене

ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем степени так, чтобы выделить (6ˣ) и получить квадратный трёхчлен. Замена t = 6ˣ; домножение на 6 (положительное) знак не меняет.

36^{x - \frac{1}{2}} = \frac{36^{x}}{36^{\frac{1}{2}}} = \frac{36^{x}}{6} = \frac{{(6^{x})}^{2}}{6}

6^{x - 1} = \frac{6^{x}}{6^{1}} = \frac{6^{x}}{6}

\frac{{(6^{x})}^{2}}{6} - 7 \cdot \frac{6^{x}}{6} + 1 \geq 0

t = 6^{x}, t > 0

\frac{t^{2}}{6} - \frac{7 t}{6} + 1 \geq 0

t^{2} - 7 t + 6 \geq 0

(t - 1) (t - 6) \geq 0

Виета: для t² − 7t + 6 сумма 7, произведение 6. У нас 1 + 6 = 7 и 1·6 = 6 — оба сходятся.

шаг 2.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1 и t = 6 — закрашены. Условие t > 0 отсекает (−∞; 0].

Пробная точка t = 3 на (1; 6): (3 − 1)(3 − 6) = 2·(−3) = −6 < 0, значит знак «−».

шаг 3.Обратная замена

Из пересечения: 0 < 6ˣ ≤ 1 или 6ˣ ≥ 6. Левую часть «6ˣ > 0» отбрасываем — она выполнена автоматически для любого x (показательная функция всюду положительна), никакого ограничения по x не даёт. Основание степени 6 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

6^{x} \leq 1

6^{x} \leq 6^{0}

x \leq 0

6^{x} \geq 6

6^{x} \geq 6^{1}

x \geq 1

Обе границы — степени шестёрки: 1 = 6⁰, 6 = 6¹. Объединяем случаи через «или»: x ≤ 0 или x ≥ 1.

ответ

x \in (- \infty; 0] \cup [1; + \infty)